经济上有危机，历史上数学也有三次危机。首次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯打造了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，常识保密，所有创造创造都归于学派领袖。当时大家对有理数的认识还非常有限，对于无理数的定义更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地觉得，宇宙间的所有现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯依据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为l的正方形的对角线长度不是整数，更不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被觉得是荒谬和违反知识的事。它不只紧急地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是首次数学危机。这场危机通过在几何学中引进不可通约量定义而得到解决。两个几何线段，假如存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，不然称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就没有能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。非常显然，只须承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。不可通约量的研究开始于公元前4世纪的欧多克斯，其成就被欧几里得所吸收，部分被收人他的《几何原本》中。第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，因为推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。微积分的形成给数学界带来革命性变化，在各个科学范围得到广泛应用，但微积分在理论上存在矛盾的地方。无穷小量是微积分的基础定义之一。微积分的主要开创者牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不可以为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这部分公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。焦点是：无穷小量是零还是非零？若是零，如何可以用它做除数？假如不是零，又如何能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？直到19世纪，柯西详细而有系统地进步了极限理论。柯西觉得把无穷小量作为确定的量，即便是零，都说不过去，它会与极限的概念发生矛盾。无穷小量应该是要如何小就如何小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的定义，而且把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。
第二次数学危机的解决使微积分更健全。
第三次数学危机，发生在十九世纪末。当时英国数学家罗素把集合分成两种。
第一种集合：集合本身不是它的元素，即A A；第二种集合：集合本身是它的一个元素AA，比如所有集合所组成的集合。那样对于任何一个集合B，不是第一种集合就是第二种集合。
假设第一种集合的全体构成一个集合M，那样M是第一种集合还是是第二种集合。
假如M是第一种集合，那样M应该是M的一个元素，即MM，但是满足MM关系的集合应是第二种集合，出现矛盾。
假如M是第二种集合，那样M应该是满足MM的关系，如此M又是是第一种集合矛盾。
以上推理过程所形成的俘论叫罗素悖论。因为严格的极限理论的打造，数学上的首次第二次危机已经解决，但极限理论是以实数理论为基础的，而实数理论又是以集合论为基础的，目前集合论又出现了罗素悖论，因而形成了数学史上更大的危机。从此，数学家们就开始为这场危机探寻解决的方法，其中之一是把集合论打造在一组公理之上，以回避悖论。第一进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，打造了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统。即所谓ZF公理系统。这场数学危机到此缓和下来。数学危机给数学进步带来了新的动力。在这场危机中集合论得到较快的进步，数学基础的进步更快，数理逻辑也愈加成熟。然而，矛盾和大家意料之外的事仍然不断出现，而且今后仍然会如此。
参考资料
丁尔升主编《中学百科全书数学卷》有关条目，北京师大出版社等1994年。
选自《中学生数学》2001年二月上
